Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 1.2

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Étape 1.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Étape 1.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 1.3.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Étape 1.3.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.3.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1}$

Étape 1.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$2$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{4}, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = 2 x + 2 (- \frac{π}{4})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{4}$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Étape 2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = 2 x + \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 1 = 2 x - \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + 1$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 2 x + \frac{- π + 2}{2}$

Étape 2.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- π$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) + 2}{2}$

Étape 2.3.3.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) - 1 (- 2)}{2}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (π) - 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π - 2)}{2}$

Étape 2.3.3.6

Réécrivez $- (π - 2)$ comme $- 1 (π - 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- 1 (π - 2)}{2}$

Étape 2.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 2 x - \frac{π - 2}{2}$

Étape 3