Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x^{\frac{9}{2}})$ ; $(1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{9}{2}}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1})$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}})$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}})$

Étape 1.7

Associez $\frac{9}{2}$ et $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$

Étape 1.8

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ par $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{9}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.9.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{9}{2}}}$

Étape 1.9.2

Placez $x^{\frac{7}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{9}{2}} x^{- \frac{7}{2}}}$

Étape 1.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.1

Multipliez $x^{\frac{9}{2}}$ par $x^{- \frac{7}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.10.1.1

Déplacez $x^{- \frac{7}{2}}$ .

$\frac{9}{2 (x^{- \frac{7}{2}} x^{\frac{9}{2}})}$

Étape 1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9}{2 x^{- \frac{7}{2} + \frac{9}{2}}}$

Étape 1.10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{2 x^{\frac{- 7 + 9}{2}}}$

Étape 1.10.1.4

Additionnez $- 7$ et $9$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.10.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{9}{2 x^{1}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{9}{2 x}$

Étape 1.11

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{9}{2 (1)}$

Étape 1.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{9}{2}$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{9}{2} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $\frac{9}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{9}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $\frac{9}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Associez $\frac{9}{2}$ et $- 1$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{9}{2}$

Étape 3