Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ at $(- 6, - 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 6$ et $y = - 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{2} + 3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $\frac{2 x}{3} + 3$ et $0$ .

$\frac{2 x}{3} + 3$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 6$ .

$\frac{2 (- 6)}{3} + 3$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{- 12}{3} + 3$

Étape 1.6.2

Divisez $- 12$ par $3$ .

$- 4 + 3$

Étape 1.6.3

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(- 6, - 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - 1 \cdot (x - (- 6))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x + 6)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x + 6)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 2 = - 1 \cdot (x + 6)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 = - 1 x - 1 \cdot 6$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y + 2 = - x - 1 \cdot 6$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y + 2 = - x - 6$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - x - 6 - 2$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $2$ de $- 6$ .

$y = - x - 8$

Étape 3