Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{6}$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\sqrt{3}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{6}, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Étape 2.3.1.4

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{π}{6}$ .

$y - 1 = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + 1$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + \frac{6}{6}$

Étape 2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{6}$

Étape 2.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3} π$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{6}$

Étape 2.3.3.4

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{6}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

Étape 2.3.3.6

Réécrivez $- (\sqrt{3} π - 6)$ comme $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

Étape 2.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{6}$

Étape 3