Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ at $(1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2}{1}$

Étape 1.5.2

Divisez $2$ par $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $- 2$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $- 2 \cdot (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - 1 = - 2 x + 2$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 2 x + 2 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = - 2 x + 3$

Étape 3