Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Étape 1.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 y' + 0$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $3 y'$ et $0$ .

$3 y'$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $3 y'$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{2} y y' - 3 y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{2} y y'$ .

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ par $2 x^{2} y - 3$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ par $2 x^{2} y - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x^{2} y - 3$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

Étape 1.7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.4.1.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 1.7.4.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Étape 1.7.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

Étape 1.7.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

Étape 1.7.4.2

Simplifiez $2^{3} \cdot 1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

Étape 1.7.4.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

Étape 1.7.4.4

Soustrayez $3$ de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{4}{5}$ et un point donné, tel que $(2, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $2$ et $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $8$ et $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Étape 3