Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(2, 8)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - x$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$3 {({(2)}^{2} - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 {(4 - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 {(4 - 2)}^{2} (2 (2) - 1)$

Étape 1.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$3 \cdot 2^{2} (2 (2) - 1)$

Étape 1.4.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4 (2 (2) - 1)$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 (2 (2) - 1)$

Étape 1.4.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$12 (4 - 1)$

Étape 1.4.2.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

$12 \cdot 3$

Étape 1.4.2.6

Multipliez $12$ par $3$ .

$36$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $36$ et un point donné, tel que $(2, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 36 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $36 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 8 = 0 + 0 + 36 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 8 = 36 x + 36 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $36$ par $- 2$ .

$y - 8 = 36 x - 72$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 36 x - 72 + 8$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 72$ et $8$ .

$y = 36 x - 64$

Étape 3