Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{2}$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.2.2

Simplifiez $4 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$y = 4 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = 4 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 1.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$y = 4 \cdot 0$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 2.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Étape 2.13.3

Réécrivez $4 \cos^{2} (x)$ comme ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Étape 2.13.4

Réécrivez $4 \sin^{2} (x)$ comme ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Étape 2.13.5

Remettez dans l’ordre $- {(2 \sin (x))}^{2}$ et ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Étape 2.13.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 \cos (x)$ et $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Étape 2.13.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 2.13.8

Développez $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 2.13.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 2.13.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.9

Associez les termes opposés dans $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 2.13.9.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ et $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.9.2

Additionnez $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ et $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.9.3

Additionnez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ et $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.10.1

Multipliez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Étape 2.13.10.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.2

Multipliez $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 2.13.10.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Étape 2.13.10.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 2.13.10.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 2.13.10.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.13.10.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{2}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 2.15.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 2.15.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 2.15.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 - 4 \cdot 1^{2}$

Étape 2.15.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - 4 \cdot 1$

Étape 2.15.1.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 - 4$

Étape 2.15.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 4$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{2}, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 4 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = - 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = - 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 3.3.2

Simplifiez $- 4 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 4 x - 4 (- \frac{π}{2})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$y = - 4 x - 4 \frac{- π}{2}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = - 4 x + 2 (- 2) \frac{- π}{2}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = - 4 x + 2 \cdot - 2 \frac{- π}{2}$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 4 x - 2 (- π)$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - 4 x + 2 π$

Étape 4