Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ at $(2, \frac{11}{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \frac{11}{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $\frac{4 x}{3} - 2$ et $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{4 (2)}{3} - 2$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{3} - 2$

Étape 1.6.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.6.3

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Étape 1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 1.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.5.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{8 - 6}{3}$

Étape 1.6.5.2

Soustrayez $6$ de $8$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{2}{3}$ et un point donné, tel que $(2, \frac{11}{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{11}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{11}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{11}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{11}{3}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x - 4 + 11}{3}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $- 4$ et $11$ .

$y = \frac{2 x + 7}{3}$

Étape 2.3.2.4

Divisez la fraction $\frac{2 x + 7}{3}$ en deux fractions.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

Étape 3