Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(16, \frac{17}{4})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 16$ et $y = \frac{17}{4}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Étape 1.3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Étape 1.3.13.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.13.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Étape 1.3.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.3.14

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 16$ .

$\frac{1}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.6.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.1.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 {(16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.3.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.6.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{4 (\frac{3}{2})}}$

Étape 1.6.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}}}$

Étape 1.6.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 3}}$

Étape 1.6.1.3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2^{6}}$

Étape 1.6.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{1 + 6}}$

Étape 1.6.1.3.4

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{2^{7}}$

Étape 1.6.1.4

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{1}{8} - \frac{1}{128}$

Étape 1.6.2

Pour écrire $\frac{1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{128}$

Étape 1.6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $128$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.6.3.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{16}{8 \cdot 16} - \frac{1}{128}$

Étape 1.6.3.2

Multipliez $8$ par $16$ .

$\frac{16}{128} - \frac{1}{128}$

Étape 1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 - 1}{128}$

Étape 1.6.5

Soustrayez $1$ de $16$ .

$\frac{15}{128}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{15}{128}$ et un point donné, tel que $(16, \frac{17}{4})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{17}{4}) = \frac{15}{128} \cdot (x - (16))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{15}{128} \cdot (x - 16)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{17}{4} = 0 + 0 + \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} \cdot (x - 16)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15}{128} x + \frac{15}{128} \cdot - 16$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{15}{128}$ et $x$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{128} \cdot - 16$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $128$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 (8)} \cdot - 16$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15}{8} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{15}{8}$ et $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{15 \cdot - 1}{8}$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.7.1

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15}{8}$

Étape 2.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{17}{4} = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{17}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{17}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{17}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} - \frac{15}{8} + \frac{17 \cdot 2}{8}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 17 \cdot 2}{8}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $17$ par $2$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{- 15 + 34}{8}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 15$ et $34$ .

$y = \frac{15 x}{128} + \frac{19}{8}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{15}{128} x + \frac{19}{8}$

Étape 3