Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{3} - 5 x$ at the point $(1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 x^{2} - 5 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$15 x^{2} - 5$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$15 {(1)}^{2} - 5$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$15 \cdot 1 - 5$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$15 - 5$

Étape 1.5.2

Soustrayez $5$ de $15$ .

$10$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $10$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 10 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 10 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $10 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 10 x + 10 \cdot - 1$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$y = 10 x - 10$

Étape 3