Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} + 2$ et $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{3} + 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$(x^{3} + 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.9

Additionnez $6 x - 4$ et $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 1.2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.2.12

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Étape 1.2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.13.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Étape 1.2.13.2

Déplacez $3$ à gauche de $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + 2) (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6

Associez des termes.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.6.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.3.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$6 x^{4} + 12 x + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 \cdot x^{3} + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.6.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.8

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.9

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.6.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.3.6.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 1.3.6.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 1.3.6.11

Additionnez $6 x^{4}$ et $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 1.3.6.12

Soustrayez $12 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 12 x - 16 x^{3} - 8 + 6 x^{2}$

Étape 1.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 8$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Étape 1.5.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Étape 1.5.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 12 (1) - 8$

Étape 1.5.1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$15 - 16 + 6 + 12 (1) - 8$

Étape 1.5.1.7

Multipliez $12$ par $1$ .

$15 - 16 + 6 + 12 - 8$

Étape 1.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.5.2.1

Soustrayez $16$ de $15$ .

$- 1 + 6 + 12 - 8$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$5 + 12 - 8$

Étape 1.5.2.3

Additionnez $5$ et $12$ .

$17 - 8$

Étape 1.5.2.4

Soustrayez $8$ de $17$ .

$9$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $9$ et un point donné, tel que $(1, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 9 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $9 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$y - 3 = 9 x - 9$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 9 x - 9 + 3$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 9$ et $3$ .

$y = 9 x - 6$

Étape 3