Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 16$ et $y = 32$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2

Associez des termes.

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Étape 1.11.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.11.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.11.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.4

Associez $- 8$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.5

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.11.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.11.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.8

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.9

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2.12

Additionnez $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12

Évaluez la dérivée sur $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.13.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.13.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.13.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.3

Divisez $12$ par $2$ .

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.13.1.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.13.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.13.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

Étape 1.13.1.4.4

Évaluez l’exposant.

$6 - \frac{4}{4}$

Étape 1.13.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.13.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$6 - \frac{4}{4}$

Étape 1.13.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$6 - 1 \cdot 1$

Étape 1.13.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 - 1$

Étape 1.13.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$5$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $5$ et un point donné, tel que $(16, 32)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $5 \cdot (x - 16)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 16$ .

$y - 32 = 5 x - 80$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5 x - 80 + 32$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 80$ et $32$ .

$y = 5 x - 48$

Étape 3