Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 3)}^{2}$ ; $(2, - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 - x$ et $g (x) = {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3)}^{2}] + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 3$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (2 x + 0) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (2 x) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} \cdot - 1$

Étape 1.3.11.2

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x - 1 \cdot {(x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 1.3.11.3

Réécrivez $- 1 {(x^{2} - 3)}^{2}$ comme $- {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 1.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 1.4.4

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(4 - 4 x) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(4 - 4 x) (x^{2} - 3) x$ .

$(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Étape 1.4.4.2

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $- {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 3) (- (x^{2} - 3))$

Étape 1.4.4.3

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 3) (- (x^{2} - 3))$ .

$(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 3))$

Étape 1.4.5

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 3))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Étape 1.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Étape 1.4.6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.6.2.1

Déplacez $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Étape 1.4.6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Étape 1.4.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 3) (x^{2} - 3)$

Étape 1.4.6.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$

Étape 1.4.7

Soustrayez $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$

Étape 1.4.8

Développez $(4 x - 5 x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.9.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.4.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.9.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.4

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} + 15 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Étape 1.4.9.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} + 15 x^{2} + 3 x^{2} - 9$

Étape 1.4.10

Additionnez $15 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} + 18 x^{2} - 9$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 8 - 12 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 - 12 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$32 - 24 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Étape 1.6.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$32 - 24 - 5 \cdot 16 + 18 {(2)}^{2} - 9$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$32 - 24 - 80 + 18 {(2)}^{2} - 9$

Étape 1.6.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$32 - 24 - 80 + 18 \cdot 4 - 9$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $18$ par $4$ .

$32 - 24 - 80 + 72 - 9$

Étape 1.6.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.6.2.1

Soustrayez $24$ de $32$ .

$8 - 80 + 72 - 9$

Étape 1.6.2.2

Soustrayez $80$ de $8$ .

$- 72 + 72 - 9$

Étape 1.6.2.3

Additionnez $- 72$ et $72$ .

$0 - 9$

Étape 1.6.2.4

Soustrayez $9$ de $0$ .

$- 9$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 9$ et un point donné, tel que $(2, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - 9 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = - 9 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 9 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 1 = 0 + 0 - 9 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 1 = - 9 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = - 9 x - 9 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 9$ par $- 2$ .

$y + 1 = - 9 x + 18$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 9 x + 18 - 1$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ de $18$ .

$y = - 9 x + 17$

Étape 3