Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{35}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ et $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 4$

Étape 1.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Étape 1.5.3.2

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2} + 4$

Étape 1.5.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Étape 1.7.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.7.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Étape 1.7.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Étape 1.7.1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{3}} + 4$

Étape 1.7.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2^{1 + 3}} + 4$

Étape 1.7.1.1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$- \frac{1}{2^{4}} + 4$

Étape 1.7.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{1}{16} + 4$

Étape 1.7.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16}$

Étape 1.7.3

Associez $4$ et $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Étape 1.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 4 \cdot 16}{16}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{- 1 + 64}{16}$

Étape 1.7.5.2

Additionnez $- 1$ et $64$ .

$\frac{63}{16}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{63}{16}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{35}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{35}{2}) = \frac{63}{16} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{63}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{35}{2} = 0 + 0 + \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} x + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{63}{16}$ et $x$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 (4)} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{63}{4}$ et $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63 \cdot - 1}{4}$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.7.1

Multipliez $63$ par $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63}{4}$

Étape 2.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{35}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{35}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{35}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{4}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 35 \cdot 2}{4}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $35$ par $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 70}{4}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 63$ et $70$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{7}{4}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{63}{16} x + \frac{7}{4}$

Étape 3