Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ at $x = 3$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $3$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{8} \cdot 3^{3}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot 27$

Étape 1.2.3.2

Associez $\frac{1}{8}$ et $27$ .

$y = \frac{27}{8}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = \frac{27}{8}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{8} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{8} (3 x^{2})$

Étape 2.3

Associez les fractions.

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Étape 2.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} x^{2}$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{3}{8}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{8}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$\frac{3 {(3)}^{2}}{8}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{8}$

Étape 2.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{1 + 2}}{8}$

Étape 2.5.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3^{3}}{8}$

Étape 2.5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27}{8}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{27}{8}$ et un point donné, tel que $(3, \frac{27}{8})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{27}{8}) = \frac{27}{8} \cdot (x - (3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{27}{8} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{27}{8} = 0 + 0 + \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} x + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{27}{8}$ et $x$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{27}{8} \cdot - 3$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Associez $\frac{27}{8}$ et $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27 \cdot - 3}{8}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{- 81}{8}$

Étape 3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{27}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + \frac{27}{8}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{27 x - 81 + 27}{8}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $- 81$ et $27$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Étape 3.3.2.4

Factorisez $27$ à partir de $27 x - 54$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Factorisez $27$ à partir de $27 x$ .

$y = \frac{27 (x) - 54}{8}$

Étape 3.3.2.4.2

Factorisez $27$ à partir de $- 54$ .

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Étape 3.3.2.4.3

Factorisez $27$ à partir de $27 x + 27 \cdot - 2$ .

$y = \frac{27 (x - 2)}{8}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $27$ par $- 2$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Étape 3.3.3.3

Divisez la fraction $\frac{27 x - 54}{8}$ en deux fractions.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 54}{8}$

Étape 3.3.3.4

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $8$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 (- 27)}{8}$

Étape 3.3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 27}{4}$

Étape 3.3.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{27}{4}$

Étape 3.3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{27}{8} x - \frac{27}{4}$

Étape 4