Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 4$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2

Simplifiez ${(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$y = {(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2.1.2

Soustrayez $8$ de $24$ .

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4^{1}$

Étape 1.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$y = 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 6 x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x - 8$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.6.3

Placez ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 2.8

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 2.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 2.11

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Étape 2.12

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Étape 2.12.2

Associez $\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ et $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.12.3

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{{(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{3}{{(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{3}{{(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.2

Soustrayez $8$ de $24$ .

$\frac{3}{16^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{3}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.15.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.15.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4^{1}}$

Étape 2.15.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{4}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{3}{4}$ et un point donné, tel que $(4, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} - 3$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 4$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 1$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{4} x + 1$

Étape 4