Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{4}$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2

Simplifiez $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.2.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 2.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{4}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.15.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 2.15.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.15.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

Étape 2.15.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

Étape 2.15.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 2.15.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{2}{2}$

Étape 2.15.1.13

Divisez $2$ par $2$ .

$- 1 + 1$

Étape 2.15.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{4}, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $0$ par $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 1$

Étape 4