Calcul infinitésimal Exemples

$x y = 15$ , $x = 5$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 5$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $5$ .

$(5) \cdot y = 15$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $5$ par $y$ .

$5 \cdot y = 15$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $5 \cdot y = 15$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \cdot y = 15$ par $5$ .

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{15}{5}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $15$ par $5$ .

$y = 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (15)$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y$

Étape 2.3

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y = 0$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' = - y$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $x y' = - y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $x y' = - y$ par $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Étape 2.7

Évaluez sur $x = 5$ sur $y = 3$ .

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Étape 2.7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$- \frac{y}{5}$

Étape 2.7.2

Remplacez la variable $y$ par $3$ dans l’expression.

$- \frac{3}{5}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{5}$ et un point donné, tel que $(5, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{3}{5} \cdot (x - (5))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{3}{5}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{5}$ dans le numérateur.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 5$

Étape 3.3.1.2.3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 1))$

Étape 3.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + 3$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - 3 = - \frac{3 x}{5} + 3$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x}{5} + 3 + 3$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + 6$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{5} x) + 6$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{5} x + 6$

Étape 4