Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 3}$ , $x = - 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 2$ .

$y = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \sqrt{4 + 3}$

Étape 1.2.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$y = \sqrt{7}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = \sqrt{7}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 3}$ comme ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.7.3

Placez ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez les termes.

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Étape 2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 2.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 2.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.12

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$\frac{- 2}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2}{{(4 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.1.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{- 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ et un point donné, tel que $(- 2, \sqrt{7})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{7}) = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (- 2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \sqrt{7} = 0 + 0 - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.1.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 \cdot x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\sqrt{7}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $\sqrt{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7} \cdot \frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.2

Associez $\sqrt{7}$ et $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + \sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.4.1

Multipliez $\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.3.3.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1 + 1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.4.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{1}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4.2

Évaluez l’exposant.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.4.3

Additionnez $- 4$ et $7$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x) + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.3.6

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4