Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{4}$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2

Simplifiez $4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 1.2.2.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

Étape 1.2.2.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

Étape 1.2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 1.2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 1.2.2.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.2.2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.2.2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.2.2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.2.2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.2.2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2^{1}$

Étape 1.2.2.9.5

Évaluez l’exposant.

$y = 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 2.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Étape 2.13.3

Réécrivez $4 \cos^{2} (x)$ comme ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Étape 2.13.4

Réécrivez $4 \sin^{2} (x)$ comme ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Étape 2.13.5

Remettez dans l’ordre $- {(2 \sin (x))}^{2}$ et ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Étape 2.13.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 \cos (x)$ et $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Étape 2.13.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 2.13.8

Développez $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 2.13.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 2.13.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.9

Associez les termes opposés dans $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 2.13.9.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ et $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.9.2

Additionnez $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ et $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.9.3

Additionnez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ et $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.10.1

Multipliez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Étape 2.13.10.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 2.13.10.2

Multipliez $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 2.13.10.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Étape 2.13.10.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 2.13.10.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 2.13.10.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.13.10.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{4}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.15.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$4 \frac{2}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.15.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$2 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 2.15.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Étape 2.15.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.15.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 - 4 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$2 - 4 \frac{2}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 - 4 (\frac{2}{4})$

Étape 2.15.1.10

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.15.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$2 + 4 (- 1) \frac{2}{4}$

Étape 2.15.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{2}{4}$

Étape 2.15.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$2 - 1 \cdot 2$

Étape 2.15.1.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2$

Étape 2.15.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{4}, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $0$ par $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 4