Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 2 x + 2$ , $(3, 23)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 23$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$3 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 2 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 2$ et $0$ .

$3 x^{2} - 2$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2} - 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 2$

Étape 1.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2} - 2$

Étape 1.5.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{3} - 2$

Étape 1.5.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 2$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $27$ .

$25$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $25$ et un point donné, tel que $(3, 23)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (23) = 25 \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 23 = 25 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $25 \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 23 = 0 + 0 + 25 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 23 = 25 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 23 = 25 x + 25 \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $25$ par $- 3$ .

$y - 23 = 25 x - 75$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $23$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 25 x - 75 + 23$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 75$ et $23$ .

$y = 25 x - 52$

Étape 3