Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(81, 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 81$ et $y = 9$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.9

Évaluez la dérivée sur $x = 81$ .

$\frac{1}{2 {(81)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.1.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.10.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.10.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.10.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 9^{1}}$

Étape 1.10.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2 \cdot 9}$

Étape 1.10.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{1}{18}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{18}$ et un point donné, tel que $(81, 9)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = \frac{1}{18} \cdot (x - (81))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 9 = \frac{1}{18} \cdot (x - 81)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{18} \cdot (x - 81)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 9 = 0 + 0 + \frac{1}{18} \cdot (x - 81)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 9 = \frac{1}{18} \cdot (x - 81)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = \frac{1}{18} x + \frac{1}{18} \cdot - 81$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{18}$ et $x$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{18} \cdot - 81$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{9 (2)} \cdot - 81$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $9$ à partir de $- 81$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 9)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 9)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 9$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{- 9}{2}$

Étape 2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 9 = \frac{x}{18} - \frac{9}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{18} - \frac{9}{2} + 9$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{18} - \frac{9}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{18} - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{18} + \frac{- 9 + 9 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$y = \frac{x}{18} + \frac{- 9 + 18}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $18$ .

$y = \frac{x}{18} + \frac{9}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{18} x + \frac{9}{2}$

Étape 3