Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.2.2

Simplifiez $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Étape 1.2.2.2

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.2.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.2.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ et $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 2.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.15.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.6

Réécrivez $- 1 (\frac{3}{2})$ comme $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.15.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 2.15.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Étape 2.15.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Étape 2.15.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Étape 2.15.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 2.15.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.15.2

Associez les fractions.

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Étape 2.15.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Étape 2.15.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.15.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Étape 2.15.2.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- 1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.3.2

Pour écrire $\frac{\sqrt{3}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.3.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.3.3.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Étape 3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Étape 3.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Étape 3.3.3.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Étape 4