Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2

Simplifiez ${(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$y = {(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2.1.2

Soustrayez $4$ de $20$ .

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4^{1}$

Étape 1.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$y = 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 10 x - 4$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x - 4$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.6.3

Placez ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.8

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.10

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Étape 2.12

Simplifiez les termes.

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Étape 2.12.1

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Étape 2.12.2

Associez $\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.12.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{{(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{5}{{(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.15.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{5}{{(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.2

Soustrayez $4$ de $20$ .

$\frac{5}{16^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.15.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.15.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4^{1}}$

Étape 2.15.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{5}{4}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{5}{4}$ et un point donné, tel que $(2, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{5}{4} \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{5}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = \frac{5}{4} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{5}{4}$ et $x$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 (2)} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.6

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Étape 3.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.7.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y - 4 = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 4 = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{4} - \frac{5}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 4 \cdot 2}{2}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{- 5 + 8}{2}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $8$ .

$y = \frac{5 x}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{5}{4} x + \frac{3}{2}$

Étape 4