Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ comme ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ et $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{5}$ et ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.7.3

Placez ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.11

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.12

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Étape 1.14

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

Étape 1.15

Simplifiez

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Étape 1.15.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ .

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.15.2

Multipliez $6 x^{2} + 8$ par $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.15.3

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2} + 8$ .

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Étape 1.15.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.15.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.16

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17

Simplifiez

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Étape 1.17.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.17.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

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Étape 1.17.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.17.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.2.3

Additionnez $12$ et $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.17.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.17.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.3.1.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.3.2

Additionnez $16$ et $16$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.3.3

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.17.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Étape 1.17.3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.17.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Étape 1.17.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

Étape 1.17.3.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

Étape 1.17.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.17.4.1

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

Étape 1.17.4.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$\frac{32}{80}$

Étape 1.17.4.3

Annulez le facteur commun à $32$ et $80$ .

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Étape 1.17.4.3.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\frac{16 (2)}{80}$

Étape 1.17.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.17.4.3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Étape 1.17.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Étape 1.17.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{2}{5}$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

Étape 3