Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{3} - 2 x$ at the point $(- 1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 2 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$6 x^{2} - 2$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$6 {(- 1)}^{2} - 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$6 \cdot 1 - 2$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - 2$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$4$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $4$ et un point donné, tel que $(- 1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 4 \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 4 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 4 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $4 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 4 x + 4 \cdot 1$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = 4 x + 4$

Étape 3