Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - x y - y^{2} = 1$ , $(5, 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x y - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - (2 y y')$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x - (x y' + y) - 2 y y'$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - (x y') - y - 2 y y'$

Étape 1.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x - x y' - y - 2 y y'$

Étape 1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y$

Étape 1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x y' - 2 y y' + 2 x - y = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' - 2 y y' - y = - 2 x$

Étape 1.5.1.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' - 2 y y' = - 2 x + y$

Étape 1.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' - 2 y y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (- x) - 2 y y' = - 2 x + y$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (- 2 y) = - 2 x + y$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ par $- x - 2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x - 2 y) = - 2 x + y$ par $- x - 2 y$ .

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- x - 2 y$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x - 2 y)}{- x - 2 y} = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 2 y} + \frac{y}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.3.5

Réécrivez $- (2 x - y)$ comme $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 2 y}$

Étape 1.5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 2 y}$

Étape 1.5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (2 y)}$

Étape 1.5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 2 y)}$

Étape 1.5.3.3.9

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Étape 1.5.3.3.10

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 2 y)}$

Étape 1.5.3.3.11

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 5$ sur $y = 3$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$\frac{2 (5) - y}{(5) + 2 y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $3$ dans l’expression.

$\frac{2 (5) - (3)}{(5) + 2 (3)}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 - (3)}{5 + 2 (3)}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{10 - 3}{5 + 2 (3)}$

Étape 1.7.3.3

Soustrayez $3$ de $10$ .

$\frac{7}{5 + 2 (3)}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{7}{5 + 6}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $5$ et $6$ .

$\frac{7}{11}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{7}{11}$ et un point donné, tel que $(5, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{7}{11} \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{7}{11} \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = \frac{7}{11} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = \frac{7}{11} x + \frac{7}{11} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{7}{11}$ et $x$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7}{11} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{7}{11} \cdot - 5$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{7}{11}$ et $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{7 \cdot - 5}{11}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$y - 3 = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35}{11}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 3 = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + 3 \cdot \frac{11}{11}$

Étape 2.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{35}{11} + \frac{3 \cdot 11}{11}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 3 \cdot 11}{11}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $11$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 35 + 33}{11}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 35$ et $33$ .

$y = \frac{7 x}{11} + \frac{- 2}{11}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{7 x}{11} - \frac{2}{11}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{7}{11} x - \frac{2}{11}$

Étape 3