Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(9, 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 9$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.9

Évaluez la dérivée sur $x = 9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.10.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.10.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.10.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Étape 1.10.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Étape 1.10.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{6}$ et un point donné, tel que $(9, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Étape 2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Étape 3