Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 1$ .

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Étape 1.2

Simplifiez $\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Étape 1.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Étape 1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

Étape 1.2.1.4

Divisez $7$ par $- 1$ .

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7$

Étape 1.2.2

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 1.2.3

Associez $7$ et $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $- 1$ et $49$ .

$y = \frac{48}{7}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = \frac{48}{7}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{7}}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Étape 2.2.3

Associez $7$ et $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{7}{7}$ et $x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Étape 2.2.5.2

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{7}{x^{7}}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{7}}$ comme ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{7}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 14}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{6}$ .

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $14$ de $6$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

Étape 2.4.2

Associez $49$ et $\frac{1}{x^{8}}$ .

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Étape 2.6.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $8$ .

$1 + \frac{49}{1}$

Étape 2.6.1.3

Divisez $49$ par $1$ .

$1 + 49$

Étape 2.6.2

Additionnez $1$ et $49$ .

$50$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $50$ et un point donné, tel que $(- 1, \frac{48}{7})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $50 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $50$ par $1$ .

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{48}{7}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $50$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

Étape 3.3.2.3

Associez $50$ et $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $50$ par $7$ .

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $350$ et $48$ .

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

Étape 4