Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y = \ln (1 + 2)$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \ln (3)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \ln (3)$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Étape 2.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Étape 2.2.9.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Étape 2.4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

Étape 2.4.1.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

Étape 2.4.1.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $8$ .

$6 (\frac{1}{3})$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(1, \ln (3))$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

Étape 4