Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{3}, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 1.2

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3})$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $2 \sqrt{3}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{3}, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Étape 2.3.1.4.2

Associez $\frac{π}{3}$ et $- 2$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Étape 2.3.1.4.3

Associez $\frac{π \cdot - 2}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.5.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $π$ .

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.3.2

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 6}{3}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 π \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 6}{3}$

Étape 2.3.3.6

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)}{3}$

Étape 2.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Étape 2.3.3.8

Réécrivez $- (2 π \sqrt{3} - 6)$ comme $- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

Étape 2.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 6}{3}$

Étape 3