Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Étape 1.2.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 1.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Multipliez $2 x - 2$ par $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x - 1}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 1.5.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(2, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $2 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Étape 3