Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 1)$ , $(3, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3 + 0)$

Étape 1.2.7

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{1}{x^{2} - 3 x + 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2 x - 3$ par $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 1}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$\frac{2 (3) - 3}{{(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 - 3}{3^{2} - 3 \cdot 3 + 1}$

Étape 1.5.1.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$\frac{3}{3^{2} - 3 \cdot 3 + 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{9 - 3 \cdot 3 + 1}$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{3}{9 - 9 + 1}$

Étape 1.5.2.3

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{3}{0 + 1}$

Étape 1.5.2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{3}{1}$

Étape 1.5.3

Divisez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $3$ et un point donné, tel que $(3, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $3 \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 x + 3 \cdot - 3$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$y = 3 x - 9$

Étape 3