Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(\frac{x + 3}{x - 1})}^{2}$ ; $(5, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 3}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Étape 1.2

Associez $2$ et $\frac{x + 3}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{x - 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.8

Associez les fractions.

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Étape 1.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.8.3

Multipliez $\frac{2 (x + 3)}{x - 1}$ par $\frac{x - 1 - (x + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Multipliez $x - 1$ par ${(x - 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1

Multipliez $x - 1$ par ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x + 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 3) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (x - 1 - x - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $x - 1 - x - 1 \cdot 3$ .

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Étape 1.6.3.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + 6) (0 - 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 1 \cdot 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(2 x + 6) (- 1 - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3.4

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{(2 x + 6) \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{- 8 x + 6 \cdot - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.3.7

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.4

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x - 24$ .

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Étape 1.6.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 24}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.4.2

Factorisez $8$ à partir de $- 24$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- x - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.6

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.8

Réécrivez $- (x + 3)$ comme $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 3))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (x + 3)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.7

Évaluez la dérivée sur $x = 5$ .

$- \frac{8 ((5) + 3)}{{((5) - 1)}^{3}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Additionnez $5$ et $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(5 - 1)}^{3}}$

Étape 1.8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.2.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Étape 1.8.2.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Étape 1.8.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Étape 1.8.3.2

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 1.8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64}{64}$

Étape 1.8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.8.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(5, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y - 4 = - x + 5$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + 5 + 4$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$y = - x + 9$

Étape 3