Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , donc $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Étape 1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.1.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.11

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.12.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.12.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.13.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.13.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 1.1.13.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.13.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Étape 1.1.13.2

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Étape 4.2

Réécrivez $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ comme $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Étape 4.3

Multipliez ${u_{2}}^{2}$ par $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$