Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) d x$

Étape 1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\int 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{3} + C$