Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sqrt{x^{3} + 33} d x$ , $u = x^{3} + 33$

Étape 1

Conservez $u = x^{3} + 33$ . Puis $d u = 3 x^{2} d x$ . Réécrivez à l’aide de $u$ et $d u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 33$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 33$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 33]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 33$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [33]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [33]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [33]$

Étape 1.1.4

Comme $33$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $33$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ comme $\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 33$ .

$\frac{2}{9} {(x^{3} + 33)}^{\frac{3}{2}} + C$