Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

Étape 1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 4

Simplifiez

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

Étape 5

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 5.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 9

Simplifiez

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$