Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x}{e^{5 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 5 x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 10 x d x$ , donc $\frac{1}{10} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 5 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{4}{e^{u_{1}}}$ par $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}} \cdot 10} d u_{1}$

Étape 2.2

Déplacez $10$ à gauche de $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{4}{10 \cdot e^{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int \frac{2 (2)}{10 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{2 (2)}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \cdot 2}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{2}{5 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{2}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Inversez l’exposant de $e^{u_{1}}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\frac{2}{5} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 1 u_{1}$ comme $- u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Étape 4.2.2

Multipliez $e^{- u_{1}}$ par $1$ .

$\frac{2}{5} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = - u_{1}$ . Alors $d u_{2} = - d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = - u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Étape 5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{5} (- (e^{u_{2}} + C))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{2}{5} (- e^{u_{2}}) + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{2 e^{u_{2}}}{5} + C$

Étape 9

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 9.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- u_{1}$ .

$- \frac{2 e^{- u_{1}}}{5} + C$

Étape 9.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x^{2}$ .

$- \frac{2 e^{- (5 x^{2})}}{5} + C$

Étape 10

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{2 e^{- 5 x^{2}}}{5} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2}{5} e^{- 5 x^{2}} + C$