Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Étape 1

Réécrivez ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ comme $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Étape 2

Développez $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.4

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.5

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.6

Simplifiez $- e^{0}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 3.1.8

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.8.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Étape 3.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Étape 3.1.8.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Étape 3.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Étape 3.1.10

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $- 2$ et $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 u_{1}$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5.2.2.4

Divisez $- u_{1}$ par $1$ .

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

Étape 10

Laissez $u_{2} = - u_{1}$ . Alors $d u_{2} = - d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = - u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Étape 10.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

Étape 14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

Étape 15.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Étape 15.3

Simplifiez

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Étape 15.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Étape 15.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Étape 15.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Étape 15.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

Étape 15.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$