Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{4}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 1)}^{2}}{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez ${u_{1}}^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1}$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{- 4} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 1)}^{- 4} d u_{2}$

Étape 4

Laissez $u_{3} = u_{2} - 1$ . Puis $d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{3} = u_{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $u_{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{2} - 1$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Étape 4.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez ${(u_{3} + 1)}^{2}$ comme $(u_{3} + 1) (u_{3} + 1)$ .

$\int (u_{3} + 1) (u_{3} + 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} (u_{3} + 1) + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.8

Remettez dans l’ordre $u_{3}$ et $1$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.9

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.10

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{2 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.14

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.15

Multipliez $u_{3}$ par $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.16

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.18

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.19

Multipliez $u_{3}$ par $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.20

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.22

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.23

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.24

Multipliez ${u_{3}}^{- 4}$ par $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 5.25

Additionnez ${u_{3}}^{- 3}$ et ${u_{3}}^{- 3}$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- 2}$ par rapport à $u_{3}$ est $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 \int {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- 3}$ par rapport à $u_{3}$ est $- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez ${u_{3}}^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{{u_{3}}^{- 2}}{2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 10.2

Placez ${u_{3}}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- 4}$ par rapport à $u_{3}$ est $- \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

Étape 12.2

Réécrivez $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$ comme $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Multipliez $\frac{1}{{u_{3}}^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{{u_{3}}^{3} \cdot 3} + C$

Étape 12.3.2

Déplacez $3$ à gauche de ${u_{3}}^{3}$ .

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3 {u_{3}}^{3}} + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $u_{2} - 1$ .

$- \frac{1}{u_{2} - 1} - \frac{1}{{(u_{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{2} - 1)}^{3}} + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 1$ .

$- \frac{1}{u_{1} + 1 - 1} - \frac{1}{{(u_{1} + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{1} + 1 - 1)}^{3}} + C$

Étape 13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$- \frac{1}{x - 1 + 1 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- \frac{1}{x + 0 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Étape 14.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Étape 14.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x + 0 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Étape 14.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Étape 14.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x + 0 - 1)}^{3}} + C$

Étape 14.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}} + C$