Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

Étape 1

Laissez $u = 1 - r$ . Alors $d u = - d r$ , donc $- d u = d r$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - r$ . Déterminez $\frac{d u}{d r}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - r$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - r$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $1$ par rapport à $r$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d r} [- r]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- r$ par rapport à $r$ est $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{7}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{7})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

Étape 6

Multipliez $(- u + 1) u^{- 7}$ .

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $u$ par $u^{- 7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1

Déplacez $u^{- 7}$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

Étape 7.1.2

Multipliez $u^{- 7}$ par $u$ .

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Étape 7.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

Étape 7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

Étape 7.1.3

Additionnez $- 7$ et $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

Étape 7.2

Multipliez $u^{- 7}$ par $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 6}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $u^{- 5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Étape 11.2

Placez $u^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 7}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Associez $u^{- 6}$ et $\frac{1}{6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

Étape 13.1.2

Placez $u^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - r$ .

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$