Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

Étape 1

Laissez $u = \frac{t}{4}$ . Alors $d u = \frac{1}{4} d t$ , donc $4 d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{t}{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{t}{4}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t}{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Étape 1.3

Divisez $0$ par $4$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Étape 5

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Étape 5.1

Évaluez $\tan (u)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$4 ((\tan (\frac{π}{4})) - \tan (0))$

Étape 5.2

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$4 (1 - \tan (0))$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$4 (1 - 0)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 (1 + 0)$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \cdot 1$

Étape 5.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$