Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sin (2 x)$ . Alors $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sin (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \sin (π)$

Étape 1.5.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{upper} = \sin (0)$

Étape 1.5.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2

Associez ${u_{2}}^{5}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{5}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ sur $0$ et sur $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Étape 5.2.3

Soustrayez $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Forme décimale :

$- 0.03515625$