Calcul infinitésimal Exemples

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\ln (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \ln (u)$ et $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $u$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $\ln (2 x + 1)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Étape 9.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.3

Multipliez $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ par $1$ .

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.5

Pour écrire $\ln (2 x + 1) x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.6

Associez $\ln (2 x + 1) x$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.8.1

Factorisez $\ln (2 x + 1)$ à partir de $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ .

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Étape 9.4.8.1.1

Factorisez $\ln (2 x + 1)$ à partir de $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.8.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.8.1.3

Factorisez $\ln (2 x + 1)$ à partir de $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Étape 9.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

Étape 9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$