Calcul infinitésimal Exemples

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x^{2} + 1$ . Alors $d u = 8 x d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 4 x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$8 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.2

Multipliez $u$ par $u^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Multipliez $u$ par $u^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.3

Associez $u^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 5.2

Réécrivez $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ comme $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$