Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- x^{4}} (- 4 x^{3}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2 x} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{2}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int e^{- {u_{1}}^{2}} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- {u_{1}}^{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 5.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9.3

Multipliez $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- {u_{1}}^{2}$ .

$e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{- {(x^{2})}^{2}} + C$