Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} \frac{5}{3 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x + 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 1$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$u_{upper} = 12 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $12$ et $1$ .

$u_{upper} = 13$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 13$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{5}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u \cdot 3} d u$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int_{1}^{13} \frac{5}{3 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{5}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{3} \int_{1}^{13} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{3} \ln (| u |)]_{1}^{13}$

Étape 5

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Étape 5.1

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $13$ et sur $1$ .

$\frac{5}{3} ((\ln (| 13 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 5.2

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Étape 5.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{3} \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $\ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 5.3

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Étape 5.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $13$ est $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 1 |})}{3}$

Étape 5.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{1})}{3}$

Étape 5.3.3

Divisez $13$ par $1$ .

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

Forme décimale :

$4.27491559 \dots$