Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt[3]{x^{3} + 1} x^{5} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ comme $u - 1$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u - 1}$ comme ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \sqrt[3]{u} {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.1.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{1} \frac{1}{3} d u$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez

$\int \sqrt[3]{u} (u - 1) \frac{1}{3} d u$

Étape 2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} (u - 1) d u$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} (u - 1) d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u + \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot - 1 d u$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ et $- 1$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u - 1 \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 3.3

Associez $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ et $u$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 3.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u^{1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 3.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 4

Réécrivez $- 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ comme $- \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - (\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2

Réécrivez $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ comme $\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 11.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{7} {(x^{3} + 1)}^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} {(x^{3} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$